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マイコンでＦＭ音源の再生

ハードウェアＰＷＭを内蔵したマイコン…今回はAT-MEGA48シリーズ…を使って、マイコン１個でＦＭ音源機能を実現してしまおうという実験です。

ＦＭ音源とは

矩形波出力とＦＭ音源

マイコンを使って（音階を持った）音楽を鳴らす方法として、比較的簡単に実現できて応用例も多いのはＰＷＭ機能を用いた矩形波出力でしょう。

矩形波出力と言ってもピンと来ない人もいらっしゃると思いますが、初代ファミコンの音などを思い浮かべていただければ「あぁ、ああいう音ね」とご理解いただけるのではないでしょうか？あの音は、ＩＣからスピーカーに対してＯＮとＯＦＦの信号を連続して送ることで振動を発生し、スピーカーの振動が空気を震わせ、音として聞こえるというわけです。

ＰＷＭ内蔵のマイコンであれば、音程に相当する数値を内蔵ＰＷＭに指定するだけで自動的にＯＮとＯＦＦの信号を出すことが出来、しかも一旦周波数を設定しておけば手放しで音程を出しつづけてくれるので、ソフトウェア側の処理負荷が軽くてお手軽です。プログラム的にはＰＷＭの発振周波数を２０Ｈｚ～２００００Ｈｚ程度に設定するだけで音程が表現できます。

一方この矩形波出力は「音色」がいつも一緒。音色を選ぶことが出来ません。ＩＣの出力ピンをオン／オフに切り替えるながら長方形の波形を出力し、その長方形の長さで音程を、長方形の高さで音量を制御する簡便な方式です。ファミコンの音楽はどれも同じ音色しか出なかったのは、この矩形波の宿命というやつです。

つまり、矩形波出力では簡単な音楽を鳴らすことはできても本格的な音楽を鳴らすには表現力が乏しいということです。ちょっとしたオルゴール的な用途にしか使えません。「音楽の演奏」というには矩形波ではちょっと役不足です。

音の３要素とＦＭ音源

「音」は３つの要素から構成さます。「音量」「音程」「音色」がそれに相当します。

矩形波出力方式ではこのうち前の２者まではなんとか作り出すことができるのですが、「音色」はコントロールすることが出来ません。ＦＭ音源というのは、コンピューター内部でこの「音色」まで造り出す音源です。

ＦＭ音源は、ＹＭＯはじめテクノ系音楽で用いられるようになり、伝説のキーボードシンセ＝YAMAHAのＤＸ－７などたくさんのシンセサイザー機器に内蔵され、８０年代にはＰＣやゲーム機にも効果音生成用に内蔵された結果「ゲームミュージック」なる新たなサブカルチャーを作り出したりした、一時代を築いた音源です。

現在は、音源といえばサンプリング音源（ＰＣＭ）が主流になってしまった感がありますが、今でも携帯電話の着メロ用などで相変わらず使われつづけています。サンプリング音源の代表といえばＣＤ、つまりコンパクトディスク。音声を時系列に細分して数値化し、それをコード化してＲＯＭ上に格納しておき、再生時にはこのデータを順にアナログ変換して出力する方法です。この方法はＣＤを見るとお判りのとおり大量のデータが必要になります。 1時間で約６５０ＭＢ程度でしょうか。

一方ＦＭ音源は再生時に「計算式」を元に音色を作り出しながら鳴らす方式なので、データ量の点でははるかに少なくて済むとうメリットがあります。それゆえに携帯電話にでもサクッと入ってしまうわけです。

そしてデータ量が少なくても大丈夫なので、容量の小さいマイコン程度でも比較的簡単に実現が可能かと思います。

「音色」について

音色って、一体なんなのでしょうか？

音色は、一言で言うと複数の波を重ね合わせたものです。

楽器や人間の声などの音色は、ベースになる波の周波数に対して、その整数倍となる周波数の波＝「倍音成分」を重ね合わせることで得ることが出来ます。

例えば、ピアノの鍵盤で「ド」のキーを叩くとおよそ２６２Ｈｚの波形（基音）に加え、その整数倍の波形（倍音）が出力されることになります。「ド」の場合、倍音成分の周波数は５２４Ｈｚ、７６８Ｈｚ、１０４８Ｈｚ、１３１０Ｈｚ… といった具合です（ちょっと不正確な値ですが）。

人間の耳はこの基音と倍音を足し合わせて出来上がった波形を「音色を持った一つの音」として聞く事ができるわけです。楽器によって異なる音色は、この倍音成分の量や比率に起因します。２倍音が少なめだったり３倍音が多めだったり、４倍音が少なめだったり…という違いが個々の楽器によって変わるわけです。

文字だと解り難いと思うので、少し可視化してみます。

先ほどの図です。これはＦＭ音源生成の計算式を元にコンピューター画面上で波形をシミュレートしてみたグラフの例です。音の１波形分に相当します。

このフニャフニャした波形が、基音と倍音を足し合わせて出来た一つの「音」の波形というわけです。

出力された波形は、上述のとおり「基音」と「倍音」を足し合わせたものなので、こんなイメージです↓。

なので、この波形を逆にスペクトル分析してみると、およそ以下のように基音と倍音が一定周期で現れることになります。（グラフは正確ではありません。イメージです）

赤い線は基音成分、青い線は倍音成分です。基音成分が１本あり、その右側に倍音成分がたくさん並んでいるのがお判りいただけるかと思います。倍音成分は基音の周波数に対して整数倍の周波数（２倍、３倍、４倍…と続いていく）になっています。

これら赤い線、青い線の一つ一つは独立した正弦波ですが、これらのたくさんの正弦波を足し合わせたものが「音色を持った一つの音」として聞こえるというわけです。この青い線が、部分的に長かったり短かったりすることで、色々な音色になって聞こえることになります。

こんな風に書くと、「ＦＭ音源ってちょっと難しそう」とか「ＦＭ音源ってこうやって正弦波を足し合わせる処理やるの？」とか思われるかもしれませんが、そうではありません。実際の動作原理、計算方法は驚くほど簡単です。このＦＭ音源をマイコンを使ってソフトウェアで実際に鳴らしてみちゃおうというのがこのページの主旨です。

ＦＭ音源はYAMAHAがライセンスを持っているらしいのですが、ライセンスなどに関する詳しいことは wikipediaなどに載っているので省きます。まぁ、商用に作るわけではなく自宅でサクッと実験する範囲ならライセンスも関係ないので、実験材料としては面白いのではないでしょうか。

当面のゴールについて

目指すところ

とにかく周波数変調を使って音を出すことだけを目指します。

ひとまず実験レベルってことでやってみたので、まずは簡単に音を鳴らすことを最優先とし、応用範囲については劣後させました。というわけでまずは実際に音を出してみたのでその成果を先に挙げておきます。この音を出すことをこのページのゴールとします。

サンプル音１：周波数比＝１の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）
サンプル音２：周波数比＝２の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）
サンプル音３：周波数比＝３の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）
サンプル音４：周波数比＝４の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）
サンプル音５：周波数比＝５の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）
サンプル音６：周波数比＝６の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）
サンプル音７：周波数比＝７の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）

ひとまずキャリアとモジュレータの周波数比をそれぞれ１～７に設定し、変調の度合いを中くらいにしたものを録音してみました。周波数比とはナンゾヤ？等といったお話については後述しますが、周波数比や変調度合い（モジュレータの出力レベル）は自由に制御できるようにしました。

見送るところ

色んなアルゴリズムとか、エンベロープとか、ＬＦＯなどは見送ります。（用語の説明は後ほど）

多々あるアルゴリズム（キャリアとモジュレータの組み合わせ方…より複雑な音色を作れる）やエンベロープパターン（ギターやピアノの音が徐々に減衰していく等の表現）については組み込めてません。キャリア＝１個、モジュレータ＝１個の最も単純なアルゴリズムだけとし、この周波数比と変調レベルを変えながら音声合成します。倍音成分（つまり音質）を自由に変化させられるということを目指しました。和音もまだ出来ません。

またエンベロープとも絡みますが、トレモロやビブラートといったＬＦＯ機能なども未登載です。

あと、今回は４つの音程…「ド」「ミ」「ソ」「１オクターブ上のド」の４音を連続していますが、プログラムのロジック中にそのメロディー自体を組み込んであるため、今のままではそれ以外のメロディーは出せません。まぁ、ここまで実現できていれば、この後の拡張は比較的簡単に行うことができるでしょう。

なにしろ、受動的に動作する「音源機能」とするか、それとも譜面（メロディー）データを内蔵して能動的に音を発する「オルゴール的」とするかによって設計の方向性が大きく分かれてしまうので、その一歩手前までに留めました。

ＦＭ音源の原理

「基音＋倍音」によって「音色」を造り出すということを上記で触れました。では、マイコンで延々と続く倍音を計算して基音に重ね合わせていくのがＦＭ音源かというと、そうではありません。そもそも倍音成分は有限個というわけではないので、延々と重ね合わせるためには、無限大の処理速度が必要になってしまいますし。

そこで周波数変調（ＦＭ）というものを使うわけです。

ＦＭ音源とＦＭラジオ？　周波数変調について

残念ながら私は周波数変調についての専門家でもなく、かつ数学なんて「じんましん」がでて痒くて痒くてわしゃかーなわんので、あまり正確な説明にならないかもしれませんが、私の頭の中にある周波数変調についてザックリまとめてみたいと思います。

ＦＭといって一番最初に思い浮かべるのはなんと言ってもＦＭラジオの「ＦＭ」という言葉かと思います。そう。ＦＭ音源の「ＦＭ」はＦＭラジオの「ＦＭ」と同じです。（同じというのは、変調の方式が一緒ということであって、用途が同じという意味ではありません）

ＦＭ放送の電波

解り易いように、ＦＭラジオの電波を可視化してみたいと思います。以下のプログラムを実行すると、ＦＭラジオの電波として送信されている波形のイメージが表示されます。…この時代にBASIC言語というのもイマイチですが、この手の短いプログラムには使い勝手がいいのでご勘弁…

   10 CLS 3
   20 LINE (100,100)-(100,300),7
   30 LINE (100,200)-(450,200),7
   40 FOR R=0 TO 3.142*40 STEP 0.001
   50 Y = - SIN(R + 8*SIN(0.1*R)) * 100 + 200
   60 X = R /3.142 /40 * 300 + 100
   70 PSET (X,Y)
   80 NEXT

短いプログラムですが、こんな短いプログラムの中に周波数変調の処理が組み込めてしまっているわけです。しかもそのメインとなる部分はこの中のたった１行。

   50 Y = - SIN(R + 8*SIN(0.1*R)) * 100 + 200

ここだけ。もっというと、Y = SIN(R + 8*SIN(0.1*R))　これだけ。

ＦＭ放送の電波では、この図ように波が密なところ（周波数が高い）と疎のところ（周波数が低い）を作って音声を送信しています。その密度によって信号の高低を表現するのがＦＭラジオで使われている「周波数変調」という方式です。密ならＨＩＧＨ、疎ならＬＯＷなどと決めておけば、受信側ではその周波数の高低から元の信号のＨＩＧＨ、ＬＯＷを再生することができます。

周波数変調のキーポイントはこのプログラム中に隠されています。それは、ｓｉｎ関数の引数内にもう一つ入れ子構造になったｓｉｎ関数です。

この内側のｓｉｎ関数が無ければ、外側のｓｉｎ関数は単純に正弦波を出力することになりますよね？　引数にｓｉｎ関数を加えていること、これが周波数変調のキーとなる部分です。内側のｓｉｎ関数と外側のｓｉｎ関数の各引数を見ていただくと、その基本周波数を決めている変数「Ｒ」の係数が違っています。内側のｓｉｎ関数は周波数が0.1倍されているのがお判りいただけるかと思います。外のｓｉｎ関数よりも内側のｓｉｎ関数の方がゆっくりとした波になっています。（この場合なら0.1倍…つまり10倍ゆっくり）

なお、この数値は視覚的に特徴が表れやすいように設定した数値なので、実際のＦＭ放送でこの定数が用いられているわけではありません。ＦＭ放送の周波数では外側のｓｉｎ関数に７８Ｍｈｚとか７９．５Ｍｈｚなどを用い、内側のｓｉｎ関数の替わりに音声信号（２０～２０Ｋｈｚ程度）を使っているわけです。0.1倍どころではありませんが、とにかく外側のＳＩＮ関数より内側のｓｉｎ関数の周期の方がゆっくりした周波数だということがＦＭ放送の方式のポイントです。

ラジオ放送の電波にＦＭ（周波数変調）を用いるのは、上の図のように常に振幅が一定にできることがメリットになるからです。ＡＭラジオの場合、信号の強弱がそのまま音声の強弱になるわけですが、受信した電波の強弱は本当に元の音声信号の強弱なのか、それとも電波の受信状態が悪いのか判断が付きません。ＦＭの場合、振幅ではなく周波数の間隔の変化が音声信号の強弱となるので、このような受信状態に起因するノイズや減衰を受けずに済む訳です。

ＦＭ音源の周波数変調

ＦＭ音源の周波数変調も、考え方は一緒です。大きく違うのは、さっきのプログラムで0.1倍となっていた係数の所です。

ＦＭ音源の場合、この係数のところに「１以上の整数」が用いられます。つまり外側のｓｉｎ関数より内側のｓｉｎ関数の方が周期が短いということになります。しかも整数倍です。実際にサンプルプログラムを動かして見ます。

   10 CLS 3
   20 LINE (100,100)-(100,300),7
   30 LINE (100,200)-(450,200),7
   40 FOR R=0 TO 3.142*2 STEP 0.001
   50 Y = - SIN(R + 0.5*SIN(3*R)) * 100 + 200
   60 X = R /3.142 /2 * 300 + 100
   70 PSET (X,Y)
   80 NEXT

すると冒頭の図になるわけですね。内側の「Ｒ」の係数部分を見ると今度は「３」になっています。外側のｓｉｎ関数と内側のｓｉｎ関数の周波数の比を設定しているところですが、「周波数比＝3倍」を設定しているということを意味しています。

このようにすると、ＦＭ放送の変調方式とＦＭ音源の処理方式は同じ事がわかります。もちろん、その目的は異なりますが。計算式中の定数がちょっと違うだけなのですが、グラフ上では結構な違いになって現れて面白いところです。

さて、どうしてｓｉｎ関数の内側にもう一個ｓｉｎ関数を入れると「倍音成分」が乗るのかについては、数学の苦手な私には理論立てた説明がし切れません。詳しく知りたいと言う方は、 wikipediaなどを別途ご覧ください。フーリエ変換すると、どうやら整数比の周波数を持ったｓｉｎ関数の集合体になるっぽいです。

後もう一つ。なぜ音色は整数比の正弦波の集まりで構成されるのか…。詳説はしませんが、これは「定常波」とか「共鳴」というキーワードで調べて頂くとピンと来るかもしれません。例えばギターの弦に生じる定常波…それぞれの波が必然的に整数倍となるはずかと。ご興味のある方は是非検索してみてください。（１／２倍波なんていうのもあるんですが、その話は省きます）

数式について補足

先ほどのBISICプログラム中の数式の意味を、もう少し可視化して見えるように動画を作ってみました。通常のｓｉｎ関数の読み出しと、周波数変調でのｓｉｎ関数の読み出しという観点で比較してみます。

通常のｓｉｎ関数の読み出し方

周波数変調を掛けた場合のｓｉｎ関数の読み出し方（周波数比＝３を想定）

上の図は通常のｓｉｎ関数の読み出し方。下の図は周波数変調を掛けた場合の読み出し方です。

縦の線がｓｉｎ関数を読み出す引数だと思ってください。ｓｉｎ関数の引数内に入れ子状態のｓｉｎ関数があるので、このとおり行ったり戻ったりしながら読み出すことになり、ふにゃふにゃした曲線が読み出されることになります。

要は、マイコンにこれと同じ処理をさせればＦＭ音源の音声合成処理ができちゃうわけです。

（なお、上下のムービーの開始と終了がシンクロしていない場合は、ブラウザの再読み込みで一旦読み直ししてみて下さい）

原理のまとめ

上記のとおり、周波数変調の原理について図と動画にまとめてみました。

周波数変調は、ｓｉｎ関数の引数にｓｉｎ関数を加算することで元の波形に変調を掛ける方式で、特にＦＭ音源の場合は内側のｓｉｎ関数の周波数を外側の整数倍にすることで行う、ということができるかと思います。実際に今回MEGA48用に作ったファームウェアもこの計算方式そのままです。

まぁ、本格的なＦＭ音源となると、内側のｓｉｎ関数が1個だけというわけではなく2個、3個…と使われていたり、さらにはｓｉｎ関数の中のｓｉｎ関数の中にさらにｓｉｎ関数が…と直列的に変調を掛けて、物凄く複雑な変調を掛けることも行われます。後述しますが、こういうｓｉｎ関数同士の組み合わせ方を「アルゴリズム」と呼びます。楽器のタイプによってマッチするアルゴリズムを選んだりして音作りをします。

また、一番外側のｓｉｎ関数を「キャリア」、それより内側のｓｉｎ関数をすべて「モジュレータ」といい、これらの「キャリア」と「モジュレータ」をあわせて「オペレータ」といいます。（キャリアもモジュレータも、単機能としてはｓｉｎ関数…つまり正弦波を出力するだけという点では変わりなく、実際にＦＭ音源のｉｃの中ではどちらもオペレータという同一機能として組み込まれています）

言い換えると、アルゴリズムはオペレータの組み合わせ方法と同義です。

今回は音を出すことを最優先にするので、複雑なアルゴリズムは用いず、キャリア1個、モジュレータ1個という最も簡単なパターンだけに絞ります。

ＦＭ音源の実際

アルゴリズムを図で描いて解り易くする

多分、ＦＭ音源で音色を作る時に一番重要な概念を３つ挙げるとしたら「アルゴリズム」「モジュレータ」「キャリア」でしょう。キャリアというのは先ほどの計算式で外側にあったｓｉｎ関数のことで、モジュレータというのは同様に内側にあったｓｉｎ関数のことです。モジュレータのｓｉｎ関数にさらにｓｉｎ関数を内包することもできます。この場合の内側のｓｉｎ関数もモジュレータといいます。

そして、このモジュレータやキャリアの組み合わせ方のことをアルゴリズムといいます。アルゴリズムは変調の掛け方を決定する大枠となります。楽器によってどの様なアルゴリズムを使えばいいのか向き不向きがあり、向き不向きを考えながらアルゴリズムを選択して使います。

ちなみに、ＦＭ音源で音色を作るときにいちいちｓｉｎ関数を引っ張り出していては大変なので、普通はもっと簡略化した図でアルゴリズムを描き表します。具体的には、各オペレータを矢印で繋いで描き、どのオペレータの出力がどのオペレータに入力されるのかを記します。先ほどのプログラムの変調方法を図示してみると…

こんな具合です。この図では、水色でモジュレータを、橙色でキャリアを描いてみました。外側のｓｉｎ関数がキャリアなので右の四角、内側のｓｉｎ関数がモジュレータなので左の四角です。なお、一般的に色は決まってません。また、縦書きだったり横書きだったり、特にキッチリとしたキマリは無いようです。ただ、四角と矢印で描くのが一般的です。

モジュレータもキャリアも、単機能としてはｓｉｎ波を出力しているだけと言う点で一緒なのは先述のとおりで、機能的にはどちらも「オペレータ」と呼ばれています。今回MEGA48でお試しに作ってみるＦＭ音源もオペレータが2個だけで、アルゴリズムとしてはこのように直列に接続した形になります。図の右端に矢印が出ていると思いますが、これが音声出力信号となり、アンプ、スピーカに繋ぐと音として聞く事が出来ます。

もう少し一般的なＦＭ音源のアルゴリズムも眺めてみます。私が昔馴染んでいたYAMAHAのYM-2203を取り上げてみます。 YAMAHAのYM-2203には、1音あたりオペレータが4個あり、これが3音同時に発声することができるようになっていました。（オペレータの数としては4×3=合計12個になりますね）

このYM-2203のアルゴリズムは以下の8種の中から選ぶことができます。

一つ一つ取り上げて解説することは出来ないので、特徴的なものだけ取り上げて触れてみます。

まず一番上のアルゴリズム０。これは、１～３番の３つのモジュレータを直列で繋いでからキャリア（４番）に接続しています。１～３番のモジュレータ直列接続によってとても複雑な変調を行っており、各アルゴリズムの中では最も複雑な倍音成分を生成できるモノです。

次にアルゴリズム４。これは２番と４番の二つがキャリアとして働いていて、それらにそれぞれ1個ずつモジュレータがついています。今回MEGA48で作るＦＭ音源のアルゴリズムが2つ並列しているのと大体一緒です。マンドリンのように1コースに２弦が張られているような楽器を思い浮かべてください。１回音を鳴らすと２つのキャリア（弦に相当）から別々の音が出るイメージで、例えば、キャリア（２番と４番）の周波数比を３度とか５度にしておけば、常に３度や５度の和音を奏でるような使い方も出来ます。

また、YM-2203はじめ一般的なＦＭ音源ではエンベロープパターンが設定出来るので、１番＋２番は弦を弾いた瞬間だけ音を出し、その後急速に減衰させ、３番＋４番は長く余韻を残す音に使うなどといった使い方も出来ます。このようにアルゴリズム４はかなり使い勝手が良いです。（エンベロープについては後述）

アルゴリズム６番や７番は、モジュレータを伴わないキャリアが存在しています。当然それらのキャリアから出力されるのは正弦波となります（厳密には、オペレータ１番にはフィードバック機能があるので、アルゴリズム７でも若干の変調は掛けられる）。倍音によって音を作るというよりも、一つ一つのキャリアに別々のＬＦＯ（ビブラートやトレモロなど）をかけて音に厚みを乗せるとか、そういう用途に使われます。

そのフィードバックについてです。YM-2203の場合オペレータ１番には出力側（右側）から入力側（左側）に線が繋がっているのが見えるかと思います。これがフィードバックを表していて、オペレータ１番の出力が自分自身（オペレータ１番）に対して変調をかける変調波として使われています。このような使い方をフィードバックといいます。

なおYM-2203ではオペレータが４個ですが、本格的なシンセではもっとたくさんのオペレータを組み合わせて複雑な音色を作り出すことが可能になっています。

エンベロープとＬＦＯの働き

「音色」と「音量」両方の調整に足を突っ込んだ機能に「エンベロープ」や「ＬＦＯ」というものがあります。

エンベロープというのは、時間の経過によって出力される波の振幅を変化させる仕組みで、ＬＦＯというのは振幅や周波数等を周期的に揺らすような仕組みです。

実際の楽器の音は基音と倍音のバランスだけで作られているわけではなく、時間の経過によって徐々に変化を生じます。

このような変化をシミュレートするのがエンベロープやＬＦＯです。音量、音程、変調の度合いなどを時間軸方向で緩やかに変化させ、音が徐々に減衰していく様子や、ビブラート、トレモロ、ワウなどがかかる様子もシミュレートできるようになっています。

今回のMEGA48用プログラムでは組み込みを見送りましたが、今後対応する時のために纏めておきます。

エンベロープを掛けると

まずこの絵の青い波線は、各オペレーターから出力される素の波形だと思ってください。

モジュレータ－からの出力であれキャリアからの出力であれ、オペレーター出力の素のままだとこのように振幅の最大値・最小値を繋ぐとそれぞれ一直線になるような波形となって現れます。振幅が赤い線のところで一定、つまりキャリアなら音量が常に一定、モジュレータなら変調度合いが一定ということを表しています。

ところが、現実の音はこのような一直線の波形にはなりません。もうちょっと複雑です。

例えばギター。弦を弾くと、最初に大きな音が出て徐々に音が減衰して小さくなっていきます。下の図の赤い線を思い浮かべるとしっくり来るかと思います。

このような音量の時間的変化や、変調量の時間的変化をシミュレートするのがエンベロープというものです。各オペレータの出力にエンベロープを掛けると、そのオペレータの出力量がこの図のように時間の流れに沿って変化することになります。

エンベロープの働き（形状）を規定するには４つのレート（attack,decay,sustain,release）と１つのレベル（sustain）という計５つのパラメータが使われます。これら４つのレートは各部の角度（正確には上下する時間）を、１つのレベルは落差の幅を定義するものです。これらを指定することで信号の出力量を徐々に変化させることができるようになります。

ギターを例にして、キャリアの出力量にエンベロープを掛けることを考えてみます。ピックで弾いた瞬間に大きな音が出て、その次の瞬間に一旦落ち込み、その後余韻を残しながら数秒間にわたって徐々に音が減衰していき、でもミュートを掛けると一気に音が抑えられます。

ピックで弾いた瞬間に音が大きく出るのがattackの部分、その次に一旦急激に音が小さくなるのがdecayの部分、数秒間近くにわたってゆっくり減衰していくのがsustainの部分、ミュートを掛けて一気に音量を抑えるのがreleaseの部分に相当します。これが管楽器の場合だと、もう少しゆっくり音量が立ち上がって（attack）、呼吸の続く限り同じ音量で伸びつづける（sustain）といった感じになるかと思います。

ＭＩＤＩなどと繋いで鳴らした場合、例えばキーボードのキーを押した瞬間がattackに相当し、キーを話した瞬間がreleaseに相当します。

このようにattack,decay,sustain,releaseを用いたエンベロープの方式はＡＤＳＲ方式と呼ばれます。（ＡＤＳＲ方式のエンベロープはＦＭ音源に限らず、色々な方式で用いられているようで、かなり一般的な考え方みたいです）

キャリアにエンベロープを掛けた場合にはこのように音量が時間の経過によって変化していくことになりますが、モジュレータにエンベロープを掛けた場合は変調の深さ（つまり倍音の量）が時間軸に沿って変化していくことになります。一般的な楽器では、音の鳴り始めには倍音が一瞬多く出て、その後一旦急速に減少し、sustainの部分に相当するところでは倍音の量は殆ど変わらない、という場合が多いようです。

ＬＦＯを掛けると

ＬＦＯとはLow Frequency Oscillator、つまり日本語では低周波発振器です。この場合の低周波とは可聴域よりも低い周波数…つまり耳で聞き取ることが出来ない周波数＝数ヘルツ前後のことを指します。

「耳に聞こえない周波数を発生してもしょうがないジャン！」と思う無かれ。ちゃんと用途があります。発生した低周波を使って、各オペレータの出力量やベースとなる周波数（基音の周波数）を上下に周期的に振る効果を得るための元となる波形として使います。コブシを効かせて歌うようなイメージです。

ＬＦＯが発生する波形はｓｉｎ波だけでなく、例えばYM-2203ではノコギリ波や三角波、ランダム値のサンプル＆ホールドなどが選択できるようになっています。

具体的には、「ビブラート」や「トレモロ」「ワウ」などといった効果を得るのに使われます。それぞれ以下のような効果があります。

ビブラート　：音程がちょっとだけ高くなったり低くなったりを周期的に繰り返す効果
トレモロ　：音量がちょっとだけ高くなったり低くなったりを周期的に繰り返す効果
ワウ　：倍音成分がちょっとだけ高くなったり低くなったりを周期的に繰り返す効果

これ以外にも、左右のチャンネルに周期的に揺れを生じる効果（パンといいます）など色々な用途に使われるのですが、私が馴染んだYM-2203はモノラル音源だったという事情もあり、使ったことがないので省きます。

もう少し解りやすく紐解いていきたいと思います。ホントは漫画にすると解りやすいんだろうと思うのですが、上手く漫画に表現できない（特にワウが）ので、数式を使ってみようと思います。

例によってキャリア1個、モジュレータ1個の一番単純な周波数変調の式を例に挙げます。

まずはそのワウ。この数式では内側のｓｉｎ関数の係数Ｗの部分が周期的に大きくなったり小さくなったりすることで効果が生じます。内側のｓｉｎ関数は周波数変調の度合い（＝発生する倍音の量）を決めているので、倍音の量が周期的に増えたり減ったりするわけです。YM-2203を例に取ると、このパラメータはオペレータ単位で設定出来るので、たくさんのモジュレータを使うアルゴリズムでは当然一つ一つ別々に設定可能です。

次にトレモロ。この数式では外側のｓｉｎ関数の係数Ｖの部分が周期的に大きくなったり小さくなったりすることで効果が生じます。外側のｓｉｎ関数は音量の大きさを決めているので、音量が周期的に増えたり減ったりするわけです。ワウと同様オペレータ単位で設定出来るので、複数キャリアを使うアルゴリズムでも、キャリア単位に設定できます。

そしてビブラート。この数式では周波数を決めている変数Ｆの変化スピードが周期的に速くなったり遅くなったりすることで効果が生じます。つまり、ＦにＬＦＯの出力値を加算することで周波数自体を周期的に揺らすわけです。Ｆは内側と外側両方（というかすべてのオペレータ）で共通に使われるベース周波数を規定しているので、Ｆを揺らすということは倍音成分も（周波数比を保ったまま）一緒に周期的に揺れることになり、音色には影響を与えずに（周波数比を保ったまま）音程だけを上げたり下げたり繰り返すことになります。

YM-2203の場合、ワウやトレモロはamplitude modulation depthとamplitude modulation senseで指定するのですが、これは上述のとおりオペレーター単位で設定可能です。一方、ビブラートはpitch modulation depthとpitch modulation sense で指定するのですが、これはアルゴリズム全体（4つのオペレータに共通）に設定されます。

一般的なＦＭ音源のまとめ

以上、YM-2203を題材に一般的なＦＭ音源がどんな仕組みで鳴っているのかを紐解いてみました。

一般的なＦＭ音源には周波数変調の機能に加え、「エンベロープ」と「ＬＦＯ」というものが登載されていて、そしてエンベロープは音が鳴り始めてから減衰するまでをオペレータの出力量調整によって制御し、ＬＦＯは音量や音程、倍音の量などを周期的に揺らす働きを持っていることを触れました。

ＦＭ音源では通常このような仕組みと、周波数変調による倍音生成を組み合わせて使うことで、現実の楽器に近い音色をシミュレートできるというわけです。

なお今回ＡＶＲで作るＦＭ音源の実験ではキャリア1個＋モジュレータ1個の単純な周波数変調による倍音成分の生成だけに留めます。いつか、ＭＩＤＩ音源的な受動動作機能を作りたいと思っているので、その時に改めて組み込みに挑戦したいと思います。

周波数比について補足

周波数比はなぜ整数？

キャリアとモジュレータの周波数比を整数に設定すると、既に触れたように周波数変調によって倍音成分が生じます。これは楽器内で発生する定常波をシミュレーションしている状況ということです。では周波数比を整数にしなかった場合はどうなるかというと…

当然ながら綺麗な整数比となるような倍音成分は発生しません。倍音ではない波形が生じることになります。倍音ではない波形というのはどういう状況なのでしょうか？

一般には打楽器の波形は決まったスペクトルを持ちません。特定のスペクトルを持つように作られているのがメロディー用の楽器、特定のスペクトルを持たないのがリズム用の楽器ということになるでしょう。（スチールドラムのような音色はちょっと特殊ですが）

和音と周波数比

ある決まった周波数比（例えば３度とか５度とか）の時には人の耳に心地よく感じます。いわゆる協和音です。例えば代表的なコード「Ｃ」。Ｃといえば「ドミソ」です。ドとミは３度、ミとソも３度。典型的な協和音です。

逆に特定の周波数比（２度とか７度とか）では心地悪く感じます。不協和音です。ドとレが２度、ドとシが７度ですね。

それらの心地よい和音を元に作られているのがいわゆる楽曲で使われている「コード」というもので、さらにあるコードから次のコードに移り変わっていく流れを「コード進行」といいますが、主題からそれていくので詳しいことは省きます。

そしてギターやピアノのようにメロディーに使われる楽器には、こういった和音を構成できるものがもっぱら使われることになりますが、一方、打楽器というのは特定のスペクトルを持ちません。

もしメロディーラインが出す周波数とリズムを刻む打楽器の周波数がたまたま２度とか７度とかの周波数比になれば打楽器も当然不協和音となり得るのですが、実際は特定のスペクトルを持っていないため協和音とも不協和音ともなりえません。そのため打楽器は「リズム楽器、パーカッション」として使えるわけです。

打楽器とＦＭ音源

では、ＦＭ音源でキャリアとモジュレータの周波数比を整数以外に設定すると打楽器の音になるのでしょうか？

YM-2203では周波数比は整数にしか設定できないため、こういった実験が出来ませんでした。理屈から言うと多分できるのではないかと思うので、このページの巻末あたりで実際に実験してみたいと思います。（しばし待たれよ！）

仕様の検討

さて、いろいろ理論をこねくり回したのでようやくモノを作ってみます。

仕様検討といっても、仕様自体はほぼ決まっているので、個々の機能要件を整理して、各機能のスペックを詰めていくという感じで進めます。

機能要件の検討

マイコンでＦＭ音源を作るときに必要となる各機能と、その各機能の接続方法についてまとめていきたいと思います。出力方向から逆に辿っていって、必要な機能を洗い出してみます。

まずはアナログ音声の出力を行うのでアナログ出力機能が必要です。そして、正確に一定周期で音声データを順次出力するためには割り込み機能を使って正確な時間間隔を得る必要があります。

次に、キャリアやモジュレータの波形計算にあたってはｓｉｎ関数が必要になるので、ｓｉｎ関数の計算ロジックもしくは計算結果を溜め込んだテーブルが必要になります。一般にマイコンにはコプロセッサなど登載していないので、処理能力的にはデータをＲＯＭ上にテーブル化する方が現実的でしょう。

これらが周波数変調として最低限必要な機能ということになるかと思います。

さらに実際に音を鳴らすためには音源機能だけでなく最小限のメロディーデータが必要になるでしょう。いわゆる「楽譜」ですね。マイコンで音楽を鳴らすとなると、受動的に音符のデータを受け取る（いわゆるＦＭ音源的）動作をするか、自身にメロディーのデータを内蔵して能動的に動作（オルゴール的）をするかのどちらかということになるかと思います。

今回はそのどちらかを作りたいという明確な目標があるわけではなく、どちらにでも応用が利くようにしたいというのが正直なところなので、必要最低限の機能として「ドミソド」の４つの音を連続して鳴らすだけに留めたいと思います。

これらを踏まえて、処理フローを漫画にするとこんな感じでしょうか。

ご覧のとおり、メインループでは特に処理は行いません。

割り込みをトリガにして、カウンタをカウントアップします。カウンタはこの図では２つあり、一つは１波形内のどこまで経過したのかを計るカウンタで、当然音程によって伸縮します。もう一つは音符１個分の長さを計るカウンタです。これらのカウンタ値を元に割り込み処理内でモジュレータやキャリアに相当するｓｉｎ関数の引数を算出、ｓｉｎ関数の読み出しを行います。読み出されたデータはＰＷＭを使ってアナログ出力します。

機能ブロックがおよそ見えたところで、マイコンの処理能力やメモリ容量等にフィットするように各スペックの数値を考えていきます。

スペックの検討

思いつくところから一つずつ挙げていってみます。

ＰＷＭ出力周波数

ＣＤなどとほぼ同じ出力周波数を目指すと考えると、２００００ｈｚ程度まで出力できるようにしたいところ。するとサンプリング定理（標本化定理）によって約４００００回／秒の頻度でデータ出力が必要となります。

ＰＷＭで４００００回／秒の出力を行うとなると、ＡＶＲを２０Ｍｈｚ（２０００００００ｈｚ）のクロックで動作させるとしたら、２０００００００÷４００００＝５００クロック毎に１回以上のデータ出力（ＰＷＭ出力）が必要となります。

ただし今回はハンダ付けするのが面倒ということも有り、動作ボードにＰＬＡＹＥＲを使うことにするのですが、このボードはtimer1（１６ビットカウンタ）に音声出力回路（ローパスフィルターとＲＣＡコネクタ）が接続されているので、timer1の特性を考慮した設定値とすることにします。

timer1をモード５（高速ＰＷＭモード、ＴＯＰ値＝0xFF）とし、コンペアマッチ割り込み無し、オーバーフロー割り込み無し、プリスケーラ無しに設定し、256クロックに1回の割合でパルス出力を行うように設定することにします。すると最大では７８１２５回／秒（約３９０００ｈｚ）程度まで出力できることになります。ちょっとスペックに満たないのですが、見なかったことにします。

割り込み頻度

一方、ＰＷＭへデータ出力を行う計算のトリガには、残ったタイマー（timer0かtimer2…ともに８ビットタイマー）のどちらかで割り込みを掛けることになります。どっちでも良いんですが、ひとまずtimer2とします。この割り込み頻度とＰＷＭ出力周波数のうち低い方が音質を決定付けることになります。

というわけで、割り込み頻度についてもＣＤクオリティーとして５００クロックに１回程度の割り込みが必要になります。８ビットタイマーを使って５００クロック程度の頻度となる設定値を考えて見ます。

まずプリスケーラを使わない場合、ＴＯＰ値＝２５０とすると割り算が割り切れて簡単なので候補の１つとします。プリスケーラを８、カウンタのＴＯＰ値＝６４にした場合は８×６４＝５１２クロックに１回の割り込みが生じます。これをもう一つの候補とします。

前者は８００００回／秒（４００００Ｈｚ）まで出力が可能。後者は３９０６２．５回／秒（１９５３１．２５ｈｚ）まで出力可能。うーん、今回は実験なので高周波まで出力できる方を選びたいところ。２００００Ｈｚを死守することにします。（まぁ、後述するとおりローパスフィルターがそこまで出してくれないのであまり拘っても意味無いんですが）

それに、本当は割り込み～割り込みの間隔は広く取った方が複雑な処理をたくさん詰め込むことが出来て良いのですが、今回は実験ということでスペック重視ということにします。

そもそも、ＰＷＭで音声出力するならどうせ８ビット精度が精々なので、音声をtimer0かtimer2に、割り込みをtimer1にしたほうが設計はしやすいと思います。ＰＬＡＹＥＲを設計する時にはそこまで考えてなかったなぁ…

ｓｉｎ関数計算

周波数変調による音声出力のベースになるのはｓｉｎ関数ということになるので、何らかの方法で正弦比を求める必要があります。

仮に浮動小数点計算をソフトウェアで行うと仮定すると、以前１６Ｍｈｚ動作のarduinoと、２０ＭｈｚのPIC16F877（ＣＣＳ－Ｃ）の比較実験（ブログの該当記事に飛びます）をしてみたとき、arduinoでもｓｉｎ関数の実行を毎秒約３０００回こなすことが判りました。２０Ｍｈｚなら４０００回近く行くかと思います。

さすがにＣＣＳ－Ｃ＋PIC16F877よりは速いＡＶＲですが、毎秒４０００回では精々２０００Ｈｚがやっと。しかも１回の計算でこれだから、キャリアの計算だけでも２０００Ｈｚ。ダメだこりゃ。

というわけで、あらかじめ計算した結果をＲＯＭ上にテーブルにして置くことにします。問題はそのデータ数とデータ幅。

まずデータ幅ですが、ＰＷＭ出力となると既に８ビット（２５６段階）が精々ということが判っているので、これにあわせることにします。

データ数ですが、例えば４４０Ｈｚの音を２０Ｍｈｚクロックで考えると、単順に割り算すると１波形あたり４５０００個ほどのデータが必要となります。じゃぁ、４５０００個のデータを用意すれば良いのかというとそうではなく、データの精度はデータ幅（８ビット）しかないので、そんなにたくさんのデータを用意してもオーバースペックになるだけです。８ビット幅のデータを綺麗に出すためには、ザッと計算すると８００個程度で十分ということになります。（なぜ８００なのかはちょこっと考えてみてください）

ここで一つ考える必要が。計算式中の割り算のこと。クロック数（正確には割り込みの発生した数）から、周波数比とか音程とかによって割り算の「余り」を求める必要があります。この「余り」がｓｉｎ関数の引数、すなわち「ノコギリ波の歯１個分」の中の位置というわけです。

２進数の世界では、定数で割り算するだけなら”逆数の掛け算”で逃げることもできるから、ｍｅｇａシリーズならハードウェア乗算命令でなんとでもできるのですが、”余りの計算”をモロにロジックで出そうとするととっても厄介。でもちょっと工夫して「割られる数（ｓｉｎ関数１波形分の個数）」を２のべき乗個にしておけば、掛け算の積から下位数ビットを抜き出すことで算出できます。特に１波形を２５６個ということにしてしまえば、下位１バイトを取り出すだけで余りの計算ができちゃいます。そうすればＡＮＤ（論理積）の計算も不要。これが一番ラクチンです。

ほんとは８００個程度に持っていきたかったのですが、とりあえず音を出すことを最優先とし、処理が簡単な「２５６個」で我慢することにしたいと思います。

１波形を２５６個で済ますのは良いとして、忘れてはならないのは自然数表示（０～２５５）と２の補数表示（－１２８～＋１２７）のことです。モジュレータの出力は「内部形式」の２の補数表示でいいのですが、キャリアの出力はＰＷＭの仕様に合わせて自然数表示にする必要があります。

まぁ、テーブルは２の補数表示にしておいて、キャリアだけ１２７（１２８？）足すんでもいいんだけど、どうせメモリは余ってるし足す処理時間も勿体無いので、両方の表示方法のテーブルを用意することにします。

というわけで、ｓｉｎ関数はＲＯＭ上のテーブルとして、８ビット幅のデータを２５６個ずつとし、２の補数表示と自然数表示の２パターンを用意する事とします。あと留意点としては、念のために２５７番目（０に戻るはずのところ）を参照してしまった場合に破綻しないように、ここにもデータを確保しておくことにします。（安全策）

ローパスフィルターのカットオフ周波数

ローパスフィルターのカットオフ周波数は、本当は２００００Ｈｚにするのが当たり前だと思うんですが、ＰＬＡＹＥＲを作ったときに、わたしのオウチに在った抵抗とコンデンサ、有り合せで組める範囲内で現実的な数値を採用したため、約１００００Ｈｚになってしまっています。まさかハイスペックな音を出そうなんて考えてなかったので…。

いまさら定数の計算をやり直したり、半田ごてを握ったり、部品を買いに行ったりするのは面倒なので、とりあえずこのまま進めることにします。高音がちょっとなまった感じになるかもしれませんが、とりあえず見なかったことにします。気になる人は定数の見直しをしてください。

なおヘタに高い周波数まで出るようにしてしまうと、それを受けるオーディオアンプが異常発振して壊れるかも知れないので、やはり２００００Ｈｚ程度に抑えておくのがよろしいかと思います。

回路図とプログラム

前章まででやるべきことが決まったので、具体化していきます。

回路図

基本的にはＰＬＡＹＥＲ上で動くように考えているので、回路図はＰＬＡＹＥＲそのままなのですが音を出すには余計な部分がたくさんあるので、必要な部分だけを残して整理した図を載せておきます。（縮小表示なので、別窓で開きなおすか保存してからご覧ください）

簡単な解説：ＰＢ２端子から音声が出力されます。ローパスフィルター回路を通してＲＣＡジャックで出力します。カットオフ周波数は約１００００Ｈｚなので、気になる人は適当に修正してお使いください。

プログラム

アセンブラで組みました。今後拡張していく時に、ＩＣの限界までチューニングするとどの程度の機能が盛り込めるのかを考えるための基礎数値とするためです。

ＦＭ音源（ＭＥＧＡ４８用）アーカイブ（クリックすると開きます）

「初期値の設定」のところの「周波数比のクリア」というコメント文がある部分で、レジスタファイル”data1"に代入する数値を修正すると周波数比が変更できます（目下、周波数比に２を設定してあります）。

そのすぐ下の「変調度合い」のところを０～２５５で設定すると変調の深さを設定できます。０で変調無し、２５５で倍音がいっぱい出ます。（いや、本当は２５５以上の数を指定することもできるような気がしますが）

コメント文がちょっと間違えていたりするんですが、あまり気にしないで下さい。（実験用なので…）

せっかくＰＬＡＹＥＲ用に作ったので、実は実行の最中に十字ボタンで周波数比と変調度合いを変更できるようにしたバージョンも作ったのですが、ＦＭ音源の本題からちょっとズレるのでひとまずお蔵入りにしておきます。（もし見たいという方はその旨ご連絡ください）

今後の課題

今回は周波数変調の処理をマイコンで行って音を出すということを最優先しましたが、ほぼ期待通りの結果がでました。ＳＩＮ波１波形で２５６個のサンプルしかないので、音質はどうかなぁ…と思ったのですが、可もなく不可もなくといった感じで、まぁ、２５６個でも悪くは無いんじゃないかな、と思いました。

ただ、現在のプログラムではドミソドの４音を繰り返すだけなので、このままでは役に立ちません。

この先の発展形としては、マイコン内部に楽譜データを保有させておいてオルゴール的に音楽を鳴らすもの、そしてＭＩＤＩ音源のように受動的にデータを受け取って鳴らすものの２つのパターンが考えられるかと思います。

オルゴール的に

オルゴール的に鳴らすとしたら、１個のマイコンで同時に使う音色の数、同時に鳴らす音の数が多くなるので、意外に処理能力が必要になります。今回、２オペレータ（モジュレータ１個＋キャリア１個）でも１サンプルあたり５０クロック以上は必要と判りましたが、２０Ｍｈｚのマイコンで２００００Ｈｚの音を出すとしたら全音の計算を５００クロック程度（２０Ｍｈｚ÷２００００Ｈｚ÷２）必要となるので、同時に発声可能なのは４～５個、いっぱい詰め込んでも７～８個は厳しいでしょう。

その範囲で鳴らせる曲ならオルゴール的に使っても結構実用になるのではないでしょうか？今回はメインロジックが空回し処理になっているので、ここに音符を扱う処理を組み込めば楽譜どおりに音楽を鳴らすのは難しくないかと思います。

ＭＩＤＩ音源のような音源機能として

一方、ＭＩＤＩ音源的に鳴らす場合を考えてみます。ＭＩＤＩ音源的に鳴らすというと、通常繋ぐ機器は１個。つまり、弾いてる間は１種類。時々音色を変えることがありますが、まぁ１種類の音で和音が弾ければＯＫかと。複雑な和音となるとどうなるか微妙ですが、通常の３～５和音のコードなら問題ないかと思います。

厄介なのは、ＭＩＤＩデータの解釈の部分。ここはまだあまり詳しい仕様が解ってないのであとでお勉強ですが、むかーしむかし、音源を自分で作ったらどんな処理かな？って想像したときに難しそうだなと思ったのはコードのうちの１音（例えばギターなら第１弦）を鳴らしているときに別の音を鳴らそうとしたら、ちゃんと別のオペレーターにアサインしないといけないわけですが、そこらへんの制御はどうやっているんだろう？ってお話。ＭＩＤＩの信号の仕様を読み解いたらそこらへんは判ってくるような気がするんだけどな。一方、ＭＩＤＩ信号の速度は結構遅いので、通信処理は処理負荷の観点では軽そうな気がします。

というわけで、「オルゴール」「音源」の２つの方向性で発展できればいいなぁと思います。個人的にはやっぱり後者で遊びたいな。

スペクトル表示

音の高さを一定に保つようにプログラムをちょっと修正して、周波数比０～７の場合それぞれについてＦＦＴを掛け、スペクトルを表示してみました。低い方の「ド」の音です。ちなみに周波数比０は変調が掛かってない状態です。つまり単純な正弦波です。

－３０ｄｂより下はどうやらノイズのようです。っていうか、ノイズだらけですね。まだオシロ使い慣れてないので… （それ以上に、単純に回路から発生するノイズが大きいのかも知れませんが）

いずれにしても、周波数比を変化させると同じ所に山が現れるので、それなりに倍音成分が生成されているような感じは見て取れました。

おまけ：打楽器系の音について

打楽器といわれる音は、上でも触れたように一般には整数倍の綺麗な倍音というものがありません。

そこで、キャリアとモジュレータの周波数比を整数倍にならないように設定したら打楽器の様な音が出せるのでは？と思ったわけです。そういうわけで実験してみました。

やり方です。マイコンですから、完全に非整数倍とすることは出来ません擬似的な非整数倍ってことで考えます。周波数比はプログラム内部では１バイトのデータなので、素数的な数値で出来るだけ大きなものを使って幾つか試して見ます。こうすると、全く同じ波形に戻るまでには、例えば440Hzの時なら「1/440×周波数比」秒の時間を要するはずです。周波数比が適当に大きければ（3桁くらい）0.1秒以上の時間がかかる計算です。そうなると、人間の可聴域より低くなって、多分非整数倍とみなせるだろう…と。

で、幾つかの周波数比を試してみたところ、なんとなく期待した様な結果にはなりませんでした。

スチールドラムみたいな金属的な音やシロフォンの音色の様な複雑な音色がするんだけど、期待してた様な（故）樋口宗孝氏のドラムさばき的な音は出ませんでした。

まぁ、ドミソドの４音、しかも数百～千Ｈｚ程度がキャリアーに充てられているので、ベードラのズンズンした音は出るはず無いんですが、それにしてもなんともいえない「音色を持った音」。多分整数倍の倍音成分を持ってるんじゃないかなぁ？

今回は、アルゴリズムは「キャリア１、モジュレータ１」の単純なものだし基音の周波数バリエーションも少ないので、コレだけでは打楽器的な音が出ないとは言い切れないんですが、今回実験してみた範囲では「いかにも打楽器」という音には至りませんでした…。ざんねん。

サンプル音２９：周波数比＝２９の場合（音が出ます：ｍｐ３形式）

周波数比を２９に設定してみた時の音です。変な金属音といった感じでしょうか。

ご興味のある方は、是非一度色んなアルゴリズムでも実験してみて下さい。もしかしたら、たくさんのモジュレータが複雑に入り混じるとイイカンジになるんじゃかいかなとか、ｓｉｎ関数の精度を現状の２５６個よりも増やすとか、サンプリング周波数を上げるとか、色々考えられますが、そもそも考え方自体が間違えている可能性もあるので、色々試してみてください。

といった感じで、今回の実験を締めくくりたいと思います。